La riformulazione quadratica proposta nel libro, porta con sé, in alcune situazioni, molti vantaggi legati sia all’efficacia, sia all’efficienza di approcci pratici.

Questo caso riguarda un test rappresentativo di quelli di ammissione all’università di Harvard.

Lo scopo del test è ricavare i valori di X e Y.

Il testo iniziale dell’esercizio riporta la formula:

X² – Y² = 36, specificando l’appartenenza delle due incognite all’insieme dei numeri NATURALI.

In nove, quasi dieci, minuti, l’autore del video dispiega la soluzione allo spettatore passaggio per passaggio, arrivando a usarne decine.

Applicazione pratica e immediata della riformulazione quadratica

Ai lettori che hanno famigliarità con l’algebra, sarà immediatamente chiaro che la riformulazione proposta nel libro permette una velocità di esecuzione che richiede pochi secondi (contro i nove minuti e mezzo) e quindi l’altro livello di efficacia ed efficienza delle medie DB.

1. Prendiamo l’equazione X² – Y² = 36. Notiamo che è una differenza quadratica.
2. Teniamo presente la riformulazione proposta: C² – A² = 4 * Δ * B.
3. Consideriamo X nel ruolo di C e Y nel ruolo di A.  36 diventa così il ruolo (risultato) di 4 * Δ * B. Se vogliamo chiamare quest’ultimo Z per allineare la quantità alle incognite algebriche diventa: 4 * Δ * Z
4. Dividendo 36/4 otteniamo 9: il valore di B (Z) quando Δ è = 1 (minor numero naturale). Spiegazione:

• 4 * Δ * B = 4 * 1 * 9
• Quindi B (Z) = 9 e Δ = 1

1. Nella riformulazione quadratica Δ è il divario, il valore, tra il numero B (9), il maggiore C e il minore A.

• C = 9+1 = 10
• A = 9 – 1 = 8

1. Quindi X = C = 10 e Y = A = 8. Verifica:

1. C² – A² = 4 * Δ * B
2. 100 – 64 = 4 * 1 * 9
3. 36 = 36.

L’equazione è verificata, i risultati X e Y ricavati sono confermati.

Considerazioni

Sicuramente l’appartenenza di X e Y ai numeri naturali ha semplificato molto il colpo d’occhio iniziale e l’intuizione che il problema proposto sia, in pratica, rapportabile in modo diretto alla riformulazione quadratica proposta.

Sarà però facilmente notabile:

• L’incredibile divario tra il tempo impiegato dall’autore del video ad arrivare alla soluzione – sicuramente esteso a causa della velocità di spiegazione al pubblico, ma comunque composta da moltissimi passaggi – e il poco tempo necessario ad arrivare alla soluzione con la riformulazione proposta della differenza quadratica.
• Il fatto che la formulazione classica C² – A² = (C + A) * (C – A), ovvero X² – Y² = (X + Y) * (X – Y), non avrebbe portato in alcun modo una semplificazione dei passaggi paragonabile a quella della riformulazione.
• Il fatto che, indubbiamente, chi ha dimestichezza con algebra e matematica in generale avrebbe potuto risolvere il problema in pochissimi secondi e, soprattutto, a mente. Senza bisogno di scrivere i passaggi.
• Il tutto si traduce, per questo specifico caso, in una “soluzione a vista” da parte di una qualsiasi persona che abbia una minima dimestichezza non tanto con l’algebra, ma solo con le quattro operazioni matematiche e la potenza al quadrato.
• Nel caso questa specifica equazione fosse necessaria a un qualsiasi scopo decisionale, rende possibile una decisione quasi istantanea e senza bisogno di scrivere nulla su carta.

Naturalmente, quanto sopra rappresenta un estremismo positivo, permesso dal problema proposto nel video.

Sicuramente non sarà altrettanto facile applicarla a moltissimi altri casi nei quali può essere utilizzata, ma questo esempio rende valutabile “a vista” anche il valore dell’efficienza che porta in casi applicativi concreti e che, con l’aiuto della comunità, può portare allo studio di casi applicativi teorici in altre discipline scientifiche: per questo esempio, infatti, non è stato neppure necessario concentrare pensieri e attenzioni sulla considerazione di Δ e B come possibili grandezze lineari: in algebra non avrebbe senso, in tutte le altre discipline avrebbero potuto aprire a considerazioni empiriche ampie ed altrettanto efficienti.